と聞かれたら答えは「必要」です。規定にも違反になると記載されていますが、罰則はありません。では実使用でセットアップしないと困ることはあるか?

これはあくまでも経験値ですが、答えは「問題なし」ETCサービス事務局としてはゲートが開かなかったり、マイレージが加算されない等「何が発生するかわからない」可能性があるのでセットアップは必ずして下さい。そもそも規則違反です。と言うこと。
ETCマイレージサービス
ETCのセットアップとマイレージの関係は直接的には関係ありませんが、サービスを受けるための手続きの様なものですので、密接ではあります。但し新規でETCを導入しない場合、既にETCが取り付けてある車両に限ってはその限りではありません。
ややこしいですね。
そもそもETCマイレージサービス
とは登録したETCカードを使用して高速道路を利用するとその登録したETCカードにマイレージポイントが加算されポイント額に応じてお得な還元があるサービスで、メリットが非常に多いサービスなので高速道路をよく利用される方もそうでない方も登録をお薦めします。

で、実使用上の不具合が無い経験値ですが、今回我が家の2台のナンバープレートの数字を変えて新規にしたのですね。
そもそもクラシックミニは中古車で購入し既にETCは取り付けられていてそのETC車載器に以前から登録していたETCカードで利用する事5年の間に料金所のゲートが開かなかったりする事は無く、マイレージも以前と変わらずに加算されていました。事務局が言うETCカードと車載器の関係はETCカードに紐づいていてETCカードが何らかの形で使用不可では無い限り、車両は何でもよいという事。
確かに、ETCカードをETC車載器と必ず紐づけないと通行できないのは現実的に不可能ですね。
まとめると
ETCの再セットアップは特に必要ない。但し規則違反。新車購入時やETCを新規で取り付けた場合は自動的にセットアップをしなければならない。
既に取り付けてあるETC車載器に手持ちのETCカードを使用しても現実的に不具合は無く利用できます。あくまでETCカードに情報が紐づいているのでゲートも開き、ETCマイレージも加算されます。あくまでも自己責任ですが。
複数のカードでETCマイレージも登録できる(4枚まで)
複数台バイクを含む車両がある場合やETCカードが何枚もある場合には手持ちの複数のカードをマイレージ登録可能です。防犯上お勧めはしませんがETCカードを車両に入れっぱなしなんてのも可能です。特にバイクはシートの裏側にロックして格納される事が多いので入れっぱなしにするのも楽ですしね。
ETCのセットアップは何処でできるか
オートバックスで可能です。他に奈良県は陸運局の同敷地内に再セットアップしてくれる場所があります。なのでナンバー交換をした足で再セットアップも可能です。
入口から一番近いC棟がソコ



そこで記入用紙に書いて待つこと10分程度係の人が来て一緒に車へ誘導セットアップ用のカードを差し込んで終わり。
料金は2750円なので、オートバックスと同じ価格ですね。只店舗によっては違うかもしれませんので確認くださいね。
運輸局の場合はカード支払いが出来ないので、もしカードで支払いしたい方はオートバックスの方が良いですね。
ETCのセットアップについて
https://www.go-etc.jp/faq/setup.html
ETC車載器の再セットアップについて
https://www.hanshin-exp.co.jp/drivers/ryoukin/etc_guide/etc_saisetup.html
3-11. ETC車載器の付いた車が複数台あります。1台ずつ登録しないといけないのですか。
https://www.etc-meisai.jp/faq/13.html#3-12
ETCマイレージサービスに2枚目のETCカードを登録するには?
https://etc.1kuruma.com/archives/2012/08/etc2etc.html